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常见的泰勒公式展开式大全(薛诗瑜)

泰勒公式有哪些展开式?下面,我整理了一些常见的泰勒公式展开式,希望对你有帮助。

普通泰勒公式展开

泰勒公式展开技术

泰勒公式在x=a时展开如下

f(x)= f(a)+f & # 39;(a)(x-a)+(1/2!)f & # 39'(a)(x-a)^2+……+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+……

设幂级数为f (x) = A0+A1 (x-a)+A2 (x-a) 2+...①

如果x=a,a0=f(a)

求公式(1)两边的一阶导数,得到

f & # 39(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……②

使x=a,得到a1 = f & # 39(a)

求②的两边,得到

f & quot(x)=2!a2+a3(x-a)+……

使x=a,得到a2 = f & # 39'(a)/2!

继续,得到一个=f(n)(a)/n!

因此,f(x)在x=a时的泰勒公式为:

f(x)= f(a)+f & # 39;(a)(x-a)+[f & # 39;'(a)/2!](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+……

应用:利用泰勒公式,可以将f(x)展开成幂级数,用于近似计算、极限值计算等。

另外,一阶泰勒公式是拉格朗日微分中值定理

F(b)=f(a)+f(ε)(b-a),ε在a和b之间。

泰勒公式有什么用

泰勒公式展开在物理中的应用!

物理学中的所有原理、定理、公式都是用泰勒展开来近似的,简谐振动对应的势能具有x ^ 2的形式,可以用数学方法精确求解。为了处理一般情况,物理学首先关注的是平衡态,可以认为是“静止”的情况。为了达到“移动”的效果,会在平衡状态加上一个扰动,导致物体振动。这种情况下,势场往往比较复杂,很难求解振动的具体形式。这时,泰勒开始发力了!

理论力学中的小振动理论告诉我们,势能在平衡态附近可以泰勒展开成X的幂级数形式,零阶项可以取为0,而一阶项的最大/最小值也是0,但从二阶项来看不是零。如果精确到二阶近似,势能的形式与简谐振动的形式完全相同,所以很容易求解。这种处理方法广泛应用于量子力学和固体物理中。

反思一下这样处理的原因:一是x 2形式的势能对应简谐运动,可以精确求解;其次,泰勒级数有很好的逼近性,x 2之后的项在一定条件下可以忽略。这样就保证了理解的准确性。