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数列收敛是什么意思 有几种判定方法(薛诗瑜)

序列收敛是什么意思?肯定有很多朋友对序列的收敛性有疑问。让我们和边肖一起看看。

序列收敛是什么意思

序列收敛就是设置序列{Xn}。如果有一个常数a(只有一个),那么对于任意给定的正数q总会有一个正整数n(无论多小),这样n >:有了n,总有| xn-a |

如果级数Xn收敛,则每个收敛级数只有一个极限。如果序列{Xn}收敛,那么序列必须有界。推论:无界级数必然发散;序列是有界的,不一定收敛;序列散度不一定是无界的。序列有界是序列收敛的必要条件,但不是充分条件。

记住rn(x) = s (x)-sn (x),rn(x)称为函数级数项的余数(当然只有x在收敛域有意义,它有limn→∞rn(x)=0

数列收敛与极限的关系

数列收敛是有极限的,这两种说法是等价的;

序列收敛的话,序列一定是有界的,反之不一定!例如:xn = 1,-1,1,-1,...| xn |

设数列{Xn},如果有常数a,那么对于任意给定的正数q(无论多小),总会有正整数n,这样n >:有了n,总有| xn-a |

有一个数列Xn,如果有m >: 0,那么所有自然数n总是有| xn |

级数收敛的标准是什么

1.适用于所有级数的基本方法是柯西收敛准则。因为其本质是将级数转化为级数,所以是最强的判别法,而柯西收敛准则的建立是级数收敛的充要条件。

局限性:某些系列特征太明显,可以用更简洁的判别方法来判断,柯西收敛原理是浪费时间;另一方面,如果级数本身过于复杂,用柯西收敛准则未必能很快证明。

2.对于正项级数,一个基本但不常用的方法是部分和有界,这也是级数收敛的一个充要条件。它是正项级数中最强的判别方法之一,其局限性是显而易见的:一般来说,一个级数的和函数不容易找到,所以这种方法不可行,所以只在理论上有意义。

3.对于正项级数,比较判别法是一种非常有效的判别方法。通过寻找一个新的正项级数,比较一般项,如果原级数的一般项很小,新级数收敛,则原级数收敛;如果新级数发散,原级数的通称项大,那么原级数发散,在判断过程中通常采用其极限形式。

局限性:当系列过于复杂时,很难判断新系列是什么。通常的方法是对原级数的通项做泰勒展开,求出等价的P级数。

4.对于正项级数,有一个积分判别法:如果x >: =1且f(x)÷= 0减小,则无穷级数(一般项为f(n))随着f(x)的积分从1到正无穷收敛发散。这种方法对某些系列特别有效。局限性:由于其本质是将级数转化为不当积分,如果转化后的不当积分的收敛性难以判断,则有可能这种方法会使问题复杂化。

5.对于正项级数,有拉贝判别法和高斯判别法。Rabe的判别式方法是将级数与一般项为1/(nα)的级数进行比较。如果n足够大,n(a[n]/a[n+1]-1)÷= r >;1,则级数收敛。

高斯判别法将级数与一般项为1/(n 1/(n(lnn)^alpha)的级数进行比较,如果a[n]/a[n+1]= 1+1/n+β/nlnn+o(1/nlnn),其中β> 1,则级数收敛。