正定矩阵的判别方法(岳春阳)

判断一个矩阵是否是正定矩阵有两种方法:求a的所有特征值，如果a的特征值都是正数，那么a就是正定的；如果A的特征值都为负，则A为负；计算A的每阶主子公式，如果A的所有主子公式都大于零，则A是正定的。如果主子形式中奇数主子形式为负，偶数主子形式为正，则a为负。

一、正定矩阵的基本定义

1.宽泛的定义

设m为n阶方阵，若任意非零向量z有zmz >: 0，其中z表示z的换位，称为m正定矩阵。

比如b是n阶矩阵，e是单位矩阵，a是正实数。当a足够大时，AE+B是正定矩阵。(b必须是对称矩阵)

2.狭义定义

n阶实对称矩阵m是正定的当且仅当zmz > 0 .其中Z代表Z的换位..

二、特点和性质

定理1:对称矩阵A正定的充要条件是A的所有特征值都是正的。

判断定理2:对称矩阵A正定的充要条件是A的所有阶主子公式都是正的。

判断定理3:任意矩阵A正定的充要条件是A与单位矩阵收缩。

正定矩阵的性质；

正定矩阵的任何主子矩阵也是正定矩阵。

如果A是N阶对称正定矩阵，则存在一个下三角矩阵L，它的唯一主对角元素是正数，从而A = L * L’。这种分解叫做正定矩阵的Cholesky分解。

如果A是N阶正定矩阵，那么A是N阶可逆矩阵..