全微分存在偏导数一定连续吗(岳春阳)

偏导数连续是可微的充分条件，偏导数存在是可微的充分必要条件。偏导数存在，但函数不一定连续。反之，如果连续性成立，那么极限存在，反之则不成立。二元函数的全微分是存在的，偏导数不一定连续。就像一元函数一样，函数在每一点都有导数，但导数不一定是连续的。

一.导言

在一元函数中，导数是函数的变化率。要研究它的“变化率”因为多了一个自变量，情况就复杂多了。在xOy平面上，当运动点从P(x0，y0)向不同方向变化时，函数f(x，y)的变化速度一般是不一样的，所以需要研究f(x，y)在(x0，y0)向不同方向的变化率。这里只学习函数f(x，y)沿平行于x轴和y轴的两个特殊方向变化时f(x，y)的变化率。偏导数的符号是:。

偏导数反映了函数沿坐标轴正方向的变化率。

二.定义

1.x方向的偏导数

有一个二元函数z=f(x，y)，点(x0，y0)是其定义域D中的一个点..y固定在y0，x在x0有增量△x。因此，函数z=f(x，y)具有增量(称为x的部分增量)△z=f(x0+△x，y0)-f(x0，y0)。

如果△x→0时存在△z与△x之比的极限，那么这个极限值称为函数z=f(x，y)对x at (x0，y0)的偏导数，表示为f & # 39X(x0，y0)或。函数z=f(x，y)到x at (x0，y0)的偏导数，实际上是y作为常数固定在y0后，一元函数z=f(x，y0)在x0的导数。

2.Y方向的偏差

同理，x固定在x0，所以y有增量△ y，如果极限存在，这个极限叫做函数z=(x，y)到y在(x0，y0)的偏导数。作为f & # 39y(x0，y0).