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知识点

可导函数的极值点一定是驻点吗(岳春阳)

不一定,因为函数的极值点可能在驻点和不可微点得到,而且如果函数是可微函数,在定义域的任意一点都是可微的,那么函数的极值点只能在驻点得到,所以不一定是驻点,但可能。

一、极值点概述

如果f(a)是函数f(x)的极值,那么当函数f(x)得到极值时,a称为x轴对应的极值点。

极值点是函数图像某一段上最大或最小点的横坐标。

极值点出现在驻点(导数为0的点)或函数的不可微点(如果导数函数不存在,也可以得到极值,那么驻点不存在)。

可导函数f(x)的极值点一定是它的驻点。但反过来,函数的驻点不一定是极值点,比如y = x ^ 3,点(0,0)是它的驻点,但不是它的极值点。

f(x)在极值点的导数为零或不存在,函数的单调性必然改变。

二、极值的充分条件

f在x0的邻域内一阶可导,在x0处二阶可导,f & # 39(X0)=0,f & quot(x0)0

(1)如果f & quot(x0)& lt;0,f获取x0处的最大值

(2)如果f & quot(x0)>;0,f在x0处获得最小值

请特别注意:

f & # 39(x)无意义的点也要讨论。可以找f & # 39(x)=0根和f & # 39(x)无意义的点,称为可疑点,然后通过定义来判断。例如,x=0时的f(x)=▏x▏导数是不可接受的。