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知识点

函数有界是可积的什么条件(李傲)

可积函数必须有界,可积是有界的充要条件,有界是可积的充要条件。比如狄利克雷函数就是一个典型的函数,处处不连续,处处不存在极限,处处不连续的可测函数。

设f(x)在区间[a,b]上连续,那么f(x)在[a,b]上可积。

设f(x)在区间[a,b]上有界,且第一类间断点的个数有限,则f(x)在[a,b]上可积。

设f(x)在区间[a,b]上单调有界,那么f(x)在[a,b]上是可积的。

可积函数是有积分的函数。除非另有说明,一般积分是指勒贝格积分;否则该函数称为黎曼可积函数。

给定集合X及其σ-代数σ和σ上的测度,实函数f:X→R是可积的,如果正部分f和负部分f都是可测函数,并且它的Lebesgue积分是有限的。把f做成“积极部分”和“消极部分”。如果f是可积的,则其积分定义为p-可积,如果|f|对于实数p≥0是可积的;P=1也叫绝对可积。