复合函数求导公式大全 大学复合函数求导法则(刘美娟)

如何导出复合函数？大学重合函数的推导公式有哪些？以下有图。com边肖整理复合函数的导数公式和规则供你参考！

复合函数的求导公式

复合函数的求导规则

证明1:先证明一个引理

f(x)在点x0可导的一个充要条件是:在x0的某个邻域U(x0)中，存在一个在点x0连续的函数H(x)，从而f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f & # 39(x0)=H(x0)

证明:设f(x)在x0可导，设h (x) = [f (x)-f (x0)]/(x-x0)，x∈u & # 39；(x0)(x0取芯邻域)；h(x)= f & # 39；(x0)，x=x0

带lim(x->:x0)H(x)= lim(x->；x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)= f & # 39；(x0)=H(x0)

所以H(x)在点x0处是连续的，f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)，x∈U(x0)

反之，设H(x)，x∈U(x0)存在，在点x0处连续，f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)，x∈U(x0)

由于极限lim (x->: x0)的存在，H(x)= lim(x->；x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->;x0)f & # 39；(x)=H(x0)

所以f(x)在点x0可导，f & # 39(x0)=H(x0)

传引理。

设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，那么复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，F & # 39(x0)= f & # 39；(u0)φ& # 39；(x0)= f & # 39；(φ(x0))φ& # 39；(x0)

证明了在u0点有一个连续函数H(u)，它由u0点的f(u)可导，由引理必要，从而f & # 39(u0)=H(u0)，f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)

而u=φ(x)在x0处可导。同样，在x0处有一个连续函数G(x)，使得φ& # 39；(x0)=G(x0)，φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)

因此，f(φ(x))-f(φ(x0))= h(φ(x))(φ(x)-φ(x0))= h(φ(x))g(x)(x-x0)

因为φ，G在x0处连续，H在u0=φ(x0)处连续，所以H(φ(x))G(x)在x0处连续。从引理的充分性，我们可以知道F(x)在x0是可导的，并且

F & # 39(x0)= f & # 39；(u0)φ& # 39；(x0)= f & # 39；(φ(x0))φ& # 39；(x0)

证词2:如果y=f(u)在点u可导，u=g(x)在点x可导，那么复合函数y=f(g(x))在点x0可导，dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

证明了因为y=f(u)在u中可导，所以lim(δu->:0)δy/δu = f & # 39；(u)或δy/δu = f & # 39；(u)+α(lim(δu->；0)α=0)

当δ u ≠ 0时，将δ u乘以方程的两边，δy = f & # 39；(u)δu+αδu

但当δ u = 0时，δ y = f (u+δ u)-f (u) = 0，所以上述方程仍然成立。

而且因为δ x ≠ 0，把δ x除以方程的两边，求δx->:0的极限，

dy/dx = lim(δx->;0)δy/δx = lim(δx->;0)[f & # 39；(u)δu+αδu]/δx = f & # 39；(u)lim(δx->;0)δu/δx+lim(δx->;0)αδu/δx

而g(x)在x处是连续的(因为它是可导的)，所以当δ x->: 0，δ u = g (x+δ x)-g (x)->: 0

那么lim (δ x->: 0)α=0

最终，dy/dx=(dy/du)*(du/dx)