数列求和的方法有哪些? 数列求和基本方法(韩竞仪)
数列不仅是高中代数的重要组成部分,也是学习高等数学的基础。它在高考和各种数学竞赛中发挥着重要作用。级数求和是级数的重要内容之一。除了等差数列和几何级数有求和公式外,大多数级数的求和都需要一定的技巧。
数列求和的基本方法1。分组方法
有一种级数,既不是等差数列,也不是几何级数。这个数列如果分解得当,可以分成几个等差数列、等比数列或公约数数列,然后分别求和,再合并。
例如,an=2n+n-1可以看作2n和n-1的和
Sn=a1+a2+...+an
=2+0+22+1+23+2+...+2n+n-1
=(2+22+...+2n)+(0+1+...+n-1)
=2(2n-1)/(2-1)+(0+n-1)n/2
=2n+1+n(n-1)/2-2
数列求和的基本方法2。数学归纳
一般来说,证明一个与正整数n有关的命题,有以下步骤:
(1)证明当n取第一个值时命题成立;
(2)假设当n = k(k≥n的第一个值,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题成立。
示例:
验证:
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .……+n(n+1)(n+2)(n+3)=[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5
证据:
当n=1时,有:
1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5
假设当n=k时命题成立,那么:
1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+。……+k(k+1)(k+2)(k+3)=[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
那么当n=k+1时,有:
1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+……+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= 1×2×3×4+2×3×4 * 5+3×4×5×6+……+k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)
= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5
即当n=k+1时,原方程依然成立,这一点通过归纳法得到了证明
数列求和的基本方法3。通用术语简化方法
先把通式简化,再总结。
比如求数列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4的前n项之和,…这时候先计算一个,再用分组等方法求和。
级数4求和的基本方法。术语总和法
(常用先探后求和的方法)
例如:1-2+3-4+5-6+...+(2n-1)-2n
方法1:(合并项目)
求奇数项和偶数项的和,然后相减。
方法2:
(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]
方法3:
构造一个新数列,可以借用等差数列和几何级数的复合。
an=n(-1)^(n+1)