三角函数推导公式有哪些？ 三角函数公式整理(韩竞仪)

三角函数对学数学的学生来说应该很难。边肖整理了一些三角函数的求导公式供你参考，希望能帮到你。

三角函数的求导公式——泛公式求导

sin 2α= 2 sinαcosα= 2 sinαcosα/[cos2(α)+sin 2(α)]，

(因为cos2(α)+sin2(α)=1)

然后将分数上下除以cos 2 (α)，得到sin2α=2tanα/[1+tan2(α)]

然后用α/2代替α。

同理可以推导出余弦的普适公式。正切的普适公式可以通过正弦和余弦的比较得到。

三角函数的求导公式——三角公式的求导

tan3α=sin3α/cos3α

=(sin 2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin 2αsinα)

=[2 sinαcos2(α)+cos2(α)sinα-sin 3(α)]/[cos3(α)-cosαsin 2(α)-2 sin 2(α)cosα]

将cos3(α)上下除，得到:

tan 3α=[3 tanα-tan 3(α)]/[1-3 tan 2(α)]

sin 3α= sin(2α+α)= sin 2αcosα+cos 2αsinα

= 2 sinαcos2(α)+[1-2 sin 2(α)]sinα= 2 sinα-2 sin 3(α)+sinα-2 sin 3(α)

=3sinα-4sin3(α)

cos3α= cos(2α+α)= cos2αcosα-sin 2αsinα

=[2cos2(α)-1]cosα-2cosαsin2(α)

= 2cos 3(α)-cosα+[2cosα-2cos 3(α)]

=4cos3(α)-3cosα

也就是，

sin3α=3sinα-4sin3(α)

cos3α=4cos3(α)-3cosα

三角函数的求导公式——和差积公式的求导

一开始我们知道sin(a+b)= Sina cosb+cosasib，sin(a-b)= Sina cosb-cosasib。我们将两个方程相加，得到sin(a+b)+sin(a-b)= 2 sinosb

同理，如果两个表达式相减，得到cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

同理，我们也知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

所以把两个公式相加，就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb

同理，我们可以通过两个表达式相减得到Sina IB =--(cos(a+b)-cos(a-b)]/2

这样，我们得到积分和差分的公式:

cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

Sina sinb =-(cos(a+b)-cos(a-b)]/2

有了四个积分和差分公式，我们只需要一次变形就可以得到四个积分和差分乘积公式

我们在上面四个公式中设置a+b为X，a-b为Y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2

用x和y分别表示a和b，可以得到和差积的四个公式:

sinx+siny = 2 sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]

sinx-siny = 2 cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]

cosx+cosy = 2 cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]cosx-cosy =-2 sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]

等角三角函数的基本关系

互反关系

tanα cotα=1

sinα cscα=1

cosα secα=1

商的关系

sinα/cosα=tanα=secα/cscα

cosα/sinα=cotα=cscα/secα

平方关系

sin2(α)+cos2(α)=1

1+tan2(α)=sec2(α)

1+cot2(α)=csc2(α)

同角三角函数关系的六角记忆法

结构是“上弦，中切，下切；以左正正六边形、右余数和中间1”为模型。

互反关系

对角线上的两个函数是互逆的；

商关系

六边形任意顶点上的函数值等于两个相邻顶点上函数值的乘积。(主要是两条虚线两端三角函数值的乘积，这种关系也存在于下面四条。)由此可得商关系。

平方关系

在阴影三角形中，上两个顶点上三角函数值的平方和等于下顶点上三角函数值的平方和。

三角函数的和差公式

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

双角的正弦、余弦和正切公式

sin2α=2sinαcosα

cos2α= cos2(α)-sin 2(α)= 2co 2(α)-1 = 1-2s in 2(α)

tan2α=2tanα/[1-tan2(α)]

tan[(1/2)α]=(sinα)/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

半角的正弦、余弦和正切公式

sin2(α/2)=(1-cosα)/2

cos2(α/2)=(1+cosα)/2

tan 2(α/2)=(1-陪α)/(1+陪α)

tan(α/2)=(1—陪α)/sinα= sinα/1+陪α

三角函数通用公式

sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)]

cosα=[1-tan 2(α/2)]/[1+tan 2(α/2)]

tanα=[2tan(α/2)]/[1-tan2(α/2)]

三角的正弦、余弦和正切公式

sin3α=3sinα-4sin3(α)

cos3α=4cos3(α)-3cosα

tan 3α=[3 tanα-tan 3(α)]/[1-3 tan 2(α)]

三角函数的和差积公式

sinα+sinβ= 2 sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ= 2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ= 2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

三角函数的积和差公式

sinαcosβ= 0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ= 0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosαcosβ= 0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinαsinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]