高中数学必修一典型例题分析之数列(张雪娇)

对于即将进入高中的学生来说，高中数学是一件头疼的事情。下面是边肖编的高中数学必修系列的一系列经典例题和分析，希望对大家有所帮助。

高中数学必修系列经典例题

【例1】100以内有多少自然数可以被7整除？

在100以内可被7整除的自然数构成等差数列，其中a1=7，d=7，an=98。

成an=a1+(n-1)d，有

98=7+(n-1) 7

解是n=14

100以内有14个能被7整除的自然数。

[例2]依次在-1和7之间插入三个数字a、b和b，使这五个数字成为等差数列，求这个数列。

设这五个数组成的等差数列为{an}

已知a1=-1，a5=7

∴7=-1+(5-1)d=2

序列是-1，1，3，5，7。

插入一个数，形成新的等差数列，求出新数列的通项。

【例3】在【1000，2000】中有多少整数可以被3整除，又可以被4整除？

设an=3n，bm=4m-3，n，m ∈ n。

得到n=4k-1(k∈N)，得到{an}和{bm}中相同项组成的序列{cn}的通项cn=12n-3(n∈N)。

那么[1000，2000]中{cn}的项是84.12-3，85.12-3，…，166.12-3

∴n=166-84+1=83 ∴总共有83个号码。

高中数学必修系列经典例题

【例4】三个数是等差数列，其和为15，平方和为83。找到这三个数字。

设三个数为x-d，x，x+d。

解是x=5，D = 2

∴这三个数字是3，5，7或7，5，3

注意如何学习成为等差数列的三个数。

【例5】已知A、B、C成为等差数列，证明b+c、c+a、a+b也成为等差数列。

证书∶a、B、C成为等差数列

∴2b=a+c

∴(b+c)+(a+b)=a+2b+c

=a+(a+c)+c

=2(a+c)

∴b+c，c+a，a+b变成等差数列。

说明
如果A、B、C成为等差数列，则以2b=a+c的形式归一化；相反，如果证明A，B，C是等差数列，往往会把证书改成2B = A+C，这个例子的目的就是让读者理解这一点。

可能是算术级数。

分析直接证明A，B，C不可能是等差数列，关于等差数列的知识很难用，所以经常用反证法。

如果A，B，C是等差数列，那么2B = A+C

∴2ac=b(a+c)=2b2,b2=ac.

并且∵ a，b，c都不是0，

∴ a，b和c是几何级数。

∴ a，b和c是等差数列。

∴ a，b，c是常数级数，与a≠b矛盾，

∴的假设是错误的。

∴ a，b和c不能是等差数列。

高中数学必修系列经典例题

[示例6]回答以下问题:

(1)已知等差数列{an}、an≠0和容差d≠0，因此验证:

(1)对于任意k∈N，关于x的方程

Akx2+2ak+1x+ak+2=0有公共根；

分析和解决方案

(1)akx2+2ak+1x+ak+2=0

∫{ an }是等差数列，∴2ak+1=ak+ak+2

∴akx2+(ak+ak+2)x+ak+2=0

∴(akx+ak+2)(x+1)=0,ak≠0

∫{ an }是等差数列，d是不等于零的常数

(2)2b =条件中的a+c

∴4rsinb=2rsina+2rsinc,2sinb=sina+sinc

在这一点上，变形目标需要明确，也就是证明

因为目标是半角的余切形式，切弦一般是变换的，所以有

[例7]如果正数a1，a2，a3，...an+1变成等差数列，验证:

证明了如果级数的容差是d，那么

a1-a2=a2-a3=…=an-an+1=-d

∴a1-an+1=-nd

∴原来的等式成立。

高中数学必修系列经典例题

[例8]已知Sn是序列{an}的前N项之和，Sn=pn(p∈R，n∈N*)，则序列{an}。

[ ]

A.这是几何级数

B.p≠0时的几何级数

C.当p≠0时，p≠1是几何级数

D.不是几何级数

分析由Sn=pn(n∈N*)，a1=S1=p组成，当n≥2时，

an=Sn-Sn-1=pnpn-1=(p-1)pn-1

但是满足这个条件的实数P是不存在的，所以这个题目应该选D。

说明数列{an}成为几何级数的必要条件是a≠0(N∈N *)，并注意

[实施例9]几何级数1，x1，x2，...，x2n，2是已知的，x1 x2 x3...计算x2n。

解∶1，x1，x2，…，x2n，2是几何级数，公比q

∴2=1 q2n+1

x1x2x 3…x2n = q Q2 Q3…q2n = Q1+2+3+…+2n

类型；(2)给定A3 A4 A5 = 8，求a2a3a4a5a6的值。

∴a4=2

[例10]众所周知，a > 0，b > 0。0和a≠b，插入n个正数x1，x2，...，xn，所以a，x1，x2，...，xn和b变成几何级数，求

证明了如果n+2数列的公比是q，那么b=aqn+1

高中数学必修系列经典例题

[例11]设a、b、c、d为几何级数，并验证:(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2。

证词I∶a、B、C、D成为几何级数

∴b2=ac,c2=bd,ad=bc

∴左侧=b2-2bc+c2+c2-2ac+a2+d2-2bd+b2

=2(b2-ac)+2(c2-bd)+(a2-2bc+d2)

=a2-2ad+d2

=(a-d)2=右侧

证书完成后。

证词2∶a、B、C、D成为几何级数，如果它的公比是Q，那么:

b=aq，c=aq2，d=aq3

∴左侧=(aq-aq2)2+(aq2-a)2+(aq3-aq)2

=a2-2a2q3+a2q6

=(a-aq3)2

=(a-d)2=右侧

证书完成后。

说明
这是几何级数与代数表达式的不断变形相结合的题目。第一种证明是抓住证明表达式右侧没有B和C的特点，利用等比条件，将左侧表达式中的B和C消去。第二个证明是把A、B、C、D统一成几何级数的基本元素A、Q。第二个证明有点麻烦，但确实是

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